已知抛物线E:y=(1/4)x^2在点A(2,1)处的切线交y轴于点B（1）求直线AB的方程（2）曲线E上是否存在点C,使S△AOC=S△BOC*S△AOB?若存在求点C的坐标

Question

已知抛物线E:y=(1/4)x^2在点A(2,1)处的切线交y轴于点B
（1）求直线AB的方程 （2）曲线E上是否存在点C,使S△AOC=S△BOC*S△AOB?若存在求点C 的坐标

Answer 1

（1）y=(1/4)x^2的导函数为y'=0.5x ,故点A处的切线的斜率为k=y′=1,由点斜式得直线AB的方程为：y=x-1
（2）如图易得S△AOB= 0.5*OB*AD= 0.5*1*2=1,所以问题转化为：曲线E上是否存在点C,使S△AOC=S△BOC?若存在求点C 的坐标
设C（x,0.25x^2 ）,则CE=|x|,∴S△BOC= 0.5*OB*CE=0.5 *1*|x|= |x|
直线OA的方程为：y=0.5 x,即x-2y=0,
点C到直线的距离为：d= |x-0.5x^2|/√5
OA的长为：√5
所以S△AOC= 0.5*OA*d= 0.5*√5 * |x-0.5x^2|/√5=0.5* |x-0.5x^2|
由S△AOC=S△BOC得：
0.5|x|=0.5 |x-0.5x^2|/ .解得：x=0(舍去)或x=4
所以存在符合条件的点C,其坐标是C（4,4）