抛物线y2=2px（p＞0）与直线y=x+1相切，A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）是抛物线上两个动点，F为抛物线的焦点，AB的垂直平分线l与x轴交于点C，且|AF|+|BF|=8．（1）求P的值；（2）求点C的坐标

Question

抛物线y²=2px（p＞0）与直线y=x+1相切，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是抛物线上两个动点，F为抛物线的焦点，AB的垂直平分线l与x轴交于点C，且|AF|+|BF|=8．
（1）求P的值；
（2）求点C的坐标；
（3）求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

（1）由

y2＝2px(p＞0)

y＝x+1

 得：y²-2py+2p=0（p＞0）有两个相等实根  
即△=4p²-8p=4p（p-2）=0，得：p=2为所求；                   
（2）抛物线y²=4x的准线x=-1．
且|AF|+|BF|=8，由定义得x₁+x₂+2=8，则x₁+x₂=6          
设C（m，0），由C在AB的垂直平分线上，从而|AC|=|BC|
则(x1−m)2+y12＝(x2−m)2+y22
(x1−m)2−(x2−m)2＝−y12+y22
（x₁+x₂-2m）（x₁-x₂）=-4（x₁-x₂）                              
因为x₁≠x₂，所以x₁+x₂-2m=-4
又因为x₁+x₂=6，所以m=5，则点C的坐标为（5，0）；
（3）设AB的中点M（x₀，y₀），有x0＝(x1+x2)/(2)＝3                  
设直线l方程y=k（x-5）过点M（3，y₀），得y₀=-2k                
又因为点M（3，y₀）在抛物线y²=4x的内部，则y02＜12              
得：4k²＜12，则k²＜3
又因为x₁≠x₂，则k≠0
故k的取值范围为(−√(3，)0)∪(0，√(3))．