设z=z（x，y）是由f（x-z，y-z）=0确定的隐函数，其中f有二阶连续偏导数，且f1′+f2′≠0，求?2z?x2设z=z（x，y）是由f（x-z，y-z）=0确定的隐函数，其中f有二阶连续偏导数，且f1′+f2′≠0，求?2z?

Question

设z=z（x，y）是由f（x-z，y-z）=0确定的隐函数，其中f有二阶连续偏导数，且f1′+f2′≠0，求?2z?x2
设z=z（x，y）是由f（x-z，y-z）=0确定的隐函数，其中f有二阶连续偏导数，且f₁′+f₂′≠0，求(?2z)/(?x2)．

Answer 1

对方程f（x-z，y-z）=0两边关于x求偏导数，得
f′1?(1?(?z)/(?x))+f′2?(?(?z)/(?x))＝0
即f′1?(f′1+f′2)(?z)/(?x)＝0…①
∴(?z)/(?x)＝(f′1)/(f′1+f′2)…②
对①式两边再关于x求偏导数，得
f″11?(1?(?z)/(?x))+f″12?(?(?z)/(?x))?[f″11?(1?(?z)/(?x))+f″12?(?(?z)/(?x))+f″21?(1?(?z)/(?x))+f″22?(?(?z)/(?x))](?z)/(?x)?(f′1+f′2)(?2z)/(?x2)＝0
∴(?2z)/(?x2)＝(f″11?(f′2)2?2f″12?f′1?f′2+f″22?(f′1)2)/((f′1+f′2)3)