设M={X|1≤x≤9,x∈Z},F={(a,b,c,d)|a,b,c,d∈M},映射f:F→Z,使得f(a,b,c,d）→ab-cd若f(u,v,x,y)=39,f(u,y,x,v)=66,求x+y+u+v的值

Question

设M={X|1≤x≤ 9,x∈Z},F={(a,b,c,d)|a,b,c,d∈M},映射f:F→Z,使得f(a,b,c,d）→ab-cd
若f(u,v,x,y)=39,f(u,y,x,v)=66,求x+y+u+v的值

Answer 1

f(u,v,x,y)=uv-xy=39
f(u,y,x,v)=uy-xv=66
两式相加得uv-xy+uy-xv=105
即(y+v)(u-x)=105
由于u,v,x,y∈M,即1≤u,v,x,y≤9
所以3≤y+v≤17,1≤u-x≤8
而105可分解为1*105,3*35,5*21,7*15
只有7*15这一种分解方法是两个数分别落在[1,8]和[3,17]这两个范围里
而且易知u-x=7,y+v=15
注意到在1≤u,v,x,y≤9的范围内
7=8-1=9-2,相应地,15=6+9=7+8
这样这四个小于10的正整数只有四种可能了：
(u,v,x,y)=(8,6,1,9),(8,9,1,6),(9,7,2,8),(9,8,2,7)
依次用uv-xy=39及uy-xv=66验证,得(u,v,x,y)=(8,6,1,9)
则u+v+x+y=24