（2013•重庆）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y＝kx（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足

Question

（2013•重庆）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y＝(k)/(x)（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：
①△OCN≌△OAM；②ON=MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON=45°，MN=2，则点C的坐标为（0，√(2)+1）．
其中正确结论的个数是（　　）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

∵点M、N都在y=(k)/(x)的图象上，
∴S_△ONC=S_△OAM=(1)/(2)k，即(1)/(2)OC•NC=(1)/(2)OA•AM，
∵四边形ABCO为正方形，
∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，
∴NC=AM，
∴△OCN≌△OAM，所以①正确；
∴ON=OM，
∵k的值不能确定，
∴∠MON的值不能确定，
∴△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，
∴ON≠MN，所以②错误；
∵S_△OND=S_△OAM=(1)/(2)k，
而S_△OND+S_{四边形DAMN}=S_△OAM+S_△OMN，
∴四边形DAMN与△MON面积相等，所以③正确；
作NE⊥OM于E点，如图，
∵∠MON=45°，
∴△ONE为等腰直角三角形，
∴NE=OE，
设NE=x，则ON=√(2)x，
∴OM=√(2)x，
∴EM=√(2)x-x=（√(2)-1）x，
在Rt△NEM中，MN=2，
∵MN²=NE²+EM²，即2²=x²+[（√(2)-1）x]²，
∴x²=2+√(2)，
∴ON²=（√(2)x）²=4+2√(2)，
∵CN=AM，CB=AB，
∴BN=BM，
∴△BMN为等腰直角三角形，
∴BN=(√(2))/(2)MN=√(2)，
设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a-√(2)，
在Rt△OCN中，∵OC²+CN²=ON²，
∴a²+（a-√(2)）²=4+2√(2)，解得a₁=√(2)+1，a₂=-1（舍去），
∴OC=√(2)+1，
∴C点坐标为（0，√(2)+1），所以④正确．
故选C．