如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为边AD上的一个动点（与点A、D不重合），∠EBM=45°，BE交对角线AC于点F，BM交于AC于点G，交CD于点M．（1）求DE：CG的值；（2）设AE=x，S△BEG=y．①求y关于x

Question

如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为边AD上的一个动点（与点A、D不重合），∠EBM=45°，BE交对角线AC于点F，BM交于AC于点G，交CD于点M．

（1）求DE：CG的值；
（2）设AE=x，S_△BEG=y．
①求y关于x的函数表达式及x的取值范围．
②当图中点E、M关于对角线BD成轴对称时，求y的值．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDE=∠BCG=∠CBD=45°，BD=√(2)BC，
∵∠EBM=45°，
∴∠DBE=∠CBG，
∴△BDE∽△BCG，
∴DE：CG=BD：BC=√(2)：1；
（2）①∵四边形ABCD是正方形，且△BDE∽△BCG，
∴BE：BG=BD：BC=BD：AB=√(2)：1，
∴△BEG∽△BAD，
∴△BEG为等腰直角三角形，
∴y=S_△BEG=(1)/(4)NE²=(1)/(4)x²+9（0<x<6）；
②若E、M关于对角线BD成轴对称，连接EM，交AC于点H，
∴BD垂直平分EM，BE平分∠ABD，
∴AE=HE=DH，DE=√(2)HE，
∴6-x=√(2)x，即x=6√(2)-6，
则y=(1)/(4)×（6√(2)-6）²+9=36-18√(2)．