直线l：y=kx+1与双曲线c：3x2-y2=1相交于A、B两点．（1）若以AB为直径的圆过原点，求直线l的方程；（2）若A、B两点在双曲线的右支上，求直线l的倾斜角的范围．

Question

直线l：y=kx+1与双曲线c：3x²-y²=1相交于A、B两点．
（1）若以AB为直径的圆过原点，求直线l的方程；
（2）若A、B两点在双曲线的右支上，求直线l的倾斜角的范围．²²

Answer 1

（1）直线l：y=kx+1代入双曲线c：3x²2-y²2=1，消去y得（3-k²2）x²2-2kx-2=0，
设A（x₁1，y₁1），B（x₂2，y₂2），则x₁1+x₂2=(2k)/(3−k2)，x₁x₂=-(2)/(3−k2)，
∵以AB为直径的圆过原点，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，
∴（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
∴-（1+k²）•(2)/(3−k2)+k•(2k)/(3−k2)+1=0，
∴k=±1，
∴直线l的方程为y=±x+1；
（2）∵A．B在双曲线的左右两支上，
∴x₁x₂=-(2)/(3−k2)＜0且3-k²≠0，
解得-√(3)＜k＜√(3)，
∴直线l的倾斜角的范围为[0，(π)/(3)）∪（(2π)/(3)，π）． (2k)/(3−k2)2k2k2k3−k23−k23−k22，x₁1x₂2=-(2)/(3−k2)，
∵以AB为直径的圆过原点，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，
∴（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
∴-（1+k²）•(2)/(3−k2)+k•(2k)/(3−k2)+1=0，
∴k=±1，
∴直线l的方程为y=±x+1；
（2）∵A．B在双曲线的左右两支上，
∴x₁x₂=-(2)/(3−k2)＜0且3-k²≠0，
解得-√(3)＜k＜√(3)，
∴直线l的倾斜角的范围为[0，(π)/(3)）∪（(2π)/(3)，π）． (2)/(3−k2)2223−k23−k23−k22，
∵以AB为直径的圆过原点，
∴x₁1x₂2+y₁1y₂2=0，
∴x₁1x₂2+（kx₁1+1）（kx₂2+1）=0，
∴（1+k²2）x₁1x₂2+k（x₁1+x₂2）+1=0，
∴-（1+k²2）•(2)/(3−k2)+k•(2k)/(3−k2)+1=0，
∴k=±1，
∴直线l的方程为y=±x+1；
（2）∵A．B在双曲线的左右两支上，
∴x₁x₂=-(2)/(3−k2)＜0且3-k²≠0，
解得-√(3)＜k＜√(3)，
∴直线l的倾斜角的范围为[0，(π)/(3)）∪（(2π)/(3)，π）． (2)/(3−k2)2223−k23−k23−k22+k•(2k)/(3−k2)+1=0，
∴k=±1，
∴直线l的方程为y=±x+1；
（2）∵A．B在双曲线的左右两支上，
∴x₁x₂=-(2)/(3−k2)＜0且3-k²≠0，
解得-√(3)＜k＜√(3)，
∴直线l的倾斜角的范围为[0，(π)/(3)）∪（(2π)/(3)，π）． (2k)/(3−k2)2k2k2k3−k23−k23−k22+1=0，
∴k=±1，
∴直线l的方程为y=±x+1；
（2）∵A．B在双曲线的左右两支上，
∴x₁1x₂2=-(2)/(3−k2)＜0且3-k²≠0，
解得-√(3)＜k＜√(3)，
∴直线l的倾斜角的范围为[0，(π)/(3)）∪（(2π)/(3)，π）． (2)/(3−k2)2223−k23−k23−k22＜0且3-k²2≠0，
解得-√(3)＜k＜√(3)，
∴直线l的倾斜角的范围为[0，(π)/(3)）∪（(2π)/(3)，π）． √(3)

3

33＜k＜√(3)，
∴直线l的倾斜角的范围为[0，(π)/(3)）∪（(2π)/(3)，π）． √(3)

3

33，
∴直线l的倾斜角的范围为[0，(π)/(3)）∪（(2π)/(3)，π）． (π)/(3)πππ333）∪（(2π)/(3)，π）． (2π)/(3)2π2π2π333，π）．