已知双曲线C：x23-y2=1．（1）若l：y=kx+m（mk≠0）与C交于不同的两点M，N都在以A（0，-1）为圆心的圆上，求m的取值范围；（2）若将（1）中的“双曲线C”改为““双曲线C的右支”，其余条件

Question

已知双曲线C：(x2)/(3)-y²=1．
（1）若l：y=kx+m（mk≠0）与C交于不同的两点M，N都在以A（0，-1）为圆心的圆上，求m的取值范围；
（2）若将（1）中的“双曲线C”改为““双曲线C的右支”，其余条件不变，求m的取值范围．

Answer 1

（1）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
由

y=kx+m

(x2)/(3)-y2=1

，
消去y整理可得（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0，
∵直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与该双曲线交于不同的两点M、N，
∴△=（-6km）²-4（1-3k²）（-3m²-3）>0，即m²+1>3k²，③
∵M、N两点都在以A为圆心的同一圆上，
∴|MA|=|NA|，
∴√(x12+(y1+1)2)=√(x22+(y2+1)2)，
∵y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，
∴（1+k²）（x₁+x₂）+2k（m+1）=0
∵x₁+x₂=(6km)/(1-3k2)，
∴（1+k²）•(6km)/(1-3k2)+2k（m+1）=0，
∴4m+1-3k²=0，
∵m²+1>3k²>0，
∴m²+1>4m+1>0
∴-(1)/(4)<m<0或m>4；
（2）由（1）可得直线和双曲线联立，可得
（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0，
∵直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与该双曲线的右支交于不同的两点M、N，
∴△=（-6km）²-4（1-3k²）（-3m²-3）>0，即m²+1>3k²，
又x₁+x₂=(6km)/(1-3k2)>0，x₁x₂=-(3m2+3)/(1-3k2)>0，
可得km<0，1-3k²<0，
由（1）可得4m+1-3k²=0，
即有m²+1>4m+1>1，
解得m>4．