5.如图,直线l:y=根号3(x-2)和双曲线C:x2\a2-y2\b2=1(a>0,b>0)交于A,B两点,|AB|=根号3,又l关于直线l1:y=bx\a对称的直线l2与x轴平行.(1)求双曲线C的离心率;(2)求双曲线C的方程.

Question

5.如图,直线l:y=根号3 (x-2)和双曲线C:x2 \a2 - y2 \b2 =1 (a>0,b>0)交于A,B两点,|AB|=根号3,又l关于直线l1:y= bx\a对称的直线l2与x轴平行.(1)求双曲线C的离心率;(2)求双曲线C的方程.

Answer 1

（1）分析如下：要求离心率我们可以先求b/a的.而这个地方说l关于直线l1:y= bx\a对称的直线l2与x轴平行,对于这种对称性的问题,我们有一个公示：
若第一根直线（斜率为k1）和第二根直线（斜率为k2）关于第三根直线（斜率为k3）对称则有
(k1+k2)/(1-k1k2)=2k3/(1-k3平方)
这个公式的证明可以用在三角里面学到的二倍角公式证明,很简单的
由题目中k1=0,k2=根号3得k3=根号3/3
当然上述方法是一般方法适合不是特殊角的使用,这道题由几何知识可得l的倾角为30°那么它的斜率就是根号3/3,即b/a=根号3/3那么（c/a）²=1+(b/a)²=4/3所以离心率为2(根号3)/3.
(2)设A为（x1,y1）B(x2,y2)同样的由ab=根号3,该直线斜率为根号3得|x2-x1|=（根号3)/2,
联立方程组
（x \a）²- （y\b）²=1 ①
y=根号3 (x-2) ②
a=（根号3）b ③
③,②代入①得到关于x的一元二次方程8x²-36x+36+3b²=0
所以(根号3)/2=|x2-x1|=根号（36²-4×8×（36+3b²）)/8
解之得b=1（﹣1舍去）
所以a=根号3
双曲线方程就算出来了