已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am构成首项为2，公差为-2的等差数列am+1，am+2，…，a2m，构成首项为12，公比为12的等比数列，其中m≥3，m∈N+，（l）当1≤n≤2m，n∈N+，时，求数列{an}的通项

Question

已知无穷数列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m构成首项为2，公差为-2的等差数列a_m+1，a_m+2，…，a_2m，构成首项为(1)/(2)，公比为(1)/(2)的等比数列，其中m≥3，m∈N₊，
（l）当1≤n≤2m，n∈N₊，时，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N₊，都有a_n+2m=a_n成立．
①当a₂₇=(1)/(64)时，求m的值；
②记数列{a_n}的前n项和为S_n．判断是否存在m，使得S_4m+1≥2成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当1≤n≤m时，a_n=2+（n-1）（-2）=-2n+4；
当m+1≤n≤2m时，an＝am+1((1)/(2))n−m−1=((1)/(2))n−m；
所以an＝

−2n+4，1≤n≤m，n∈N*

((1)/(2))n−m，m+1≤n≤2m，n∈N*

；
（2）①a₂₇=(1)/(64)=((1)/(2))6，所以m≥6，
则2km+m+6=27，即（2k+1）m=21，k∈N，
当k=0时，m=21；当k=1时，m=7；当k≥2时，m≤(21)/(5)＜6，
所以m的取值为：7或21；
②S_4m+1=2S_2m+a₁=2[2m+(m(m−1))/(2)×(−2)+((1)/(2)(1−(1)/(2m)))/(1−(1)/(2))]+2=-2m²+6m+4-(2)/(2m)，
S_4m+1≥2即-2m²+6m+4-(2)/(2m)≥2，亦即−m2+3m+1≥(1)/(2m)，
当m=3时，不等式为1≥(1)/(8)成立，
当m≥4时，-m²+3m+1＜0，而(1)/(2m)＞0，不等式不成立，
所以存在符合条件的m=3．