f(x)={e∧1/-x²,x≠00,x=0证明f(x)在x=0处n阶可导

Question

f(x)={e∧1/-x²,x≠0 0,x=0 证明 f(x)在x=0处n阶可导

Answer 1

任给整数m>=0,不难证明,
1.lim(x-->0)f(x)/x^m=0
2.用归纳法,可以得到：当 x≠0,f(x)的m次导数
f^(m)(x)= f(x)(a_m_0+a_m_1/x+a_m_2/x^2+...+a_m_k(m) / x^k(m)),其中 a_m_i 为常数,i=0,1,...,k(m).
于是 用归纳法,可以证明f^(n)(0)=0,如下：
f^(n)(0)=lim(x-->0) (f^(n-1)(x) - f^(n-1)(0))/x
=lim(x-->0) (f(x)(a_(n-1)_0+a_(n-1)_1/x+a_(n-1)_2/x^2+...+a_(n-1)_k(n-1) / x^k(n-1)) - 0))/x
=a_(n-1)_0 lim(x-->0) f(x)/x + a_(n-1)_1 lim(x-->0) f(x)/ x^2 +...+a_(n-1)_k(n-1) lim(x-->0) f(x)/ x^(k(n-1)+1)
= 0 (根据上面的 1.lim(x-->0)f(x)/x^m=0 ）
所以 f(x)在x=0处n阶可导 且导数为0.