证明：在R上不存在连续可导函数,使f(f(x))=-x^3+x^2+1,说说思路就好

Question

证明：在R上不存在连续可导函数,使f(f(x))=-x^3+x^2+1,说说思路就好

Answer 1

f(f(x)) R 上由 0,2/3 分为3个单调闭区间.依次记为A,B,C.其中只有B 有界.
f(x) 必须在这三个区间上也单调.f(A),f(B),f(C) 都不可以有 0 或 2/3 为内点,由连通性,必包含在A,B,C之一.
ff(x) 是满射,所以f(x)也必须是满射.R =f(R)
所以必须有 {f(A),f(B),f(C)} = {A,B,C},
但是 ff(A）= {-x^3+x^2+1 | x=1} 包含于C 但不是全部C.与上式矛盾.