如图，直线AP的解析式y=kx+4k分别交于x轴、y轴于A、C两点，与反比例函数y=6x（x＞0）交于点P．且PB⊥x轴于B点，S△PAB=9．（1）求一次函数解析式；（2）点Q是x轴上的一动点，当QC+QP的值最小时

Question

如图，直线AP的解析式y=kx+4k分别交于x轴、y轴于A、C两点，与反比例函数y=(6)/(x)（x＞0）交于点P．且PB⊥x轴于B点，S_△PAB=9．
（1）求一次函数解析式；
（2）点Q是x轴上的一动点，当QC+QP的值最小时，求Q点坐标；
（3）设点R与点P同在反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴于T点，交AC于点M，是否存在点R，使得△BTM与△AOC全等？若存在，求点R的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）直线AP解析式y=kx+4k=k（x+4），
得到A（-4，0），即OA=4，
设OB=a，PB=b，即P（a，b），
代入反比例解析式得：ab=6，
∵S_△PAB=(1)/(2)AB•PB=9，
∴(1)/(2)（a+4）b=9，即ab+4b=6+4b=18，
解得：a=2，b=3，即P（2，3），
将P（2，3）代入直线y=kx+4k中得：3=2k+4k，
解得：k=(1)/(2)，
则直线AP解析式为y=(1)/(2)x+2；
（2）对于直线y=(1)/(2)x+2，令x=0，得到y=2，即C（0，2），OC=2，
找出C关于x轴的对称点C′（0，-2），连接PC′，交x轴与Q点，此时QC+QP最短，
设直线C′P解析式为y=mx+n，
将P（2，3）与C′（0，-2）代入得：

2m+n＝3

n＝−2

，
解得：m=2.5，n=-2，
∴直线C′P解析式为y=2.5x-2，
令y=0，得到x=0.8，即Q（0.8，0）；
（3）若△BTM≌△COA，则有BT=OC=2，MT=OA=4，
∴OT=OB+BT=2+2=4，即M（4，4），
将x=4代入直线OP解析式得：y=(1)/(2)×4+2=2+2=4，即M在直线AP上，
将x=4代入反比例解析式得：y=(6)/(4)=1.5，
此时R坐标为（4，1.5）．