如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求A、B、C的坐标；(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线A

Question

如图，抛物线 的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

(1)求A、B、C的坐标；____
(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；____
(3)在(2)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方)．若，求点F的坐标．____

Answer 1

【分析】(1)利用抛物线解析式可得出C点坐标，令y=0，解关于x的方程，可求得A、B的坐标；
\n(2)设M点横坐标为m，则，MN=(-m-1)×2=-2m-2，矩形PMNQ的周长，根据二次函数的性质，即可得出矩形PMNQ的周长最大时m的值，然后求得直线AC的解析式，把x=m代入，可求得三角形的边长，从而求得三角形的面积；
\n(3)根据抛物线的对称轴可求得点D的坐标，得到DQ=DC，设F(n，，根据条件，结合点G在点F的上方，得到关于n的方程，解方程求得点F的坐标．

(1)由抛物线，可知C(0，3).
\n令y=0，则，解得x=-3或x=1，
\n∴A(-3，0)，B(1，0)．
\n(2)由，可知抛物线对称轴为x=-1.
\n设点M(m，0)，则
\n∵P、Q关于直线x=-1对称，
\n∴点，
\n则，MN=(-m-1)×2=-2m-2，
\n∴矩形PMNQ的周长=2(PM+MN)
\n=
\n=
\n=，
\n∴当m=-2时，矩形的周长最大．
\n∵A(-3，0)，C(0，3)，设直线AC解析式为y=kx+b，
\n解得k=1，b=3，
\n∴直线AC的解析式为y=x+3.
\n当x=-2时，得E(-2，1)，
\n∴EM=1，AM=1，
\n∴．
\n(3)如图，

\n∵M点的横坐标为-2，抛物线的对称轴为x=-1，
\n∴N应与原点重合，Q点与C点重合，
\n∴DQ=DC.
\n把x=-1代入，解得y=4，
\n∴D(-1，4)，
\n∴.
\n∵，
\n∴FG=4.
\n设，
\n则G(n，n+3).
\n∵点G在点F的上方，
\n∴FG=，
\n解得n=-4或n=1．
\n当n=-4时，，
\n当n=1时，，
\n∴F(-4，-5)或(1，0)．

【点评】此题属于二次函数的综合问题，涉及矩形的性质、一元二次方程的解法、二次函数最值的求法等知识点，综合性较强，难度适中．解此类相关联的几个小题时，要注意前面小题求解的准确性，在解第(2)题时，要充分将抛物线的轴对称的性质与矩形的性质相结合解题；解题过程中要注意数形结合以及方程思想的运用．