过抛物线上一点作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于A、B两点．(1)求证：直线AB的斜率为定值；(2)已知A、B两点均在抛物线上，若ΔMAB的面积的最大值为6，求抛物线的方程．

Question

过抛物线上一点作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于A、B两点．

(1)求证：直线AB的斜率为定值；
(2)已知A、B两点均在抛物线上，若ΔMAB的面积的最大值为6，求抛物线的方程．____

Answer 1

【分析】(1)不妨设，由K_AM=-k_BM，可得y₁+y₂=-2p．利用斜率公式可求；
\n(2)AB的方程为：，即x+y，由点M到AB的距离d=及==，令p+y₁=t，可表示=，设f(t)=|4p²t-t³|，由偶函数的性质，只需考虑t∈[0，p]，利用导数的知识可得，f(t)在[0，p]单调递增可求三角形的面积的最大值，进而可求p及抛物线的方程.

证明：不妨设，.
\n由K_AM=-k_BM，得y₁+y₂=-2p，
\n∴.
\n(2)AB的方程为，即x+y，
\n点M到AB的距离d=，
==.
\n又由y₁+y₂=-2p，y₁y₂<0，y₁∈[-2p，0].
\n令p+y₁=t，则t∈[-p，p]，
\n则=.
\n设f(t)=|4p²t-t³|，为偶函数，
\n故只需考虑t∈[0，p]，f(t)=4p²t-t³，
\n∵f′(t)=4p²-3t²>0，
\n∴f(t)在[0，p]上单调递增.
\n当t=p时，f(t)的最小值为3p³，，
\n∴p=2，则抛物线方程为y²=4x.

【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，要求考试具备一定的计算与推理的能力，试题具有一定的综合性．