一道圆锥曲线问题,有一定难度,已知椭圆C：x^2/4+y^2=1及定点P(t,0)(t>0),斜率为0.5的直线L经过点P并与椭圆C交于不同的两点A、B,且对于椭圆上任意一点M,都存在θ∈[0,2π],使得OM=cosθ*OA+sinθ*OB（OM,OA

Question

一道圆锥曲线问题,有一定难度,
已知椭圆C：x^2/4+y^2=1及定点P(t,0) (t>0),斜率为0.5的直线L经过点P并与椭圆C交于不同的两点A、B,且对于椭圆上任意一点M,都存在θ∈[0,2π],使得OM=cosθ*OA+sinθ*OB（OM,OA,OB为向量）成立,试求出满足条件的实数t的值.

Answer 1

设直线L的方程为 y=1/2*（x-t）
代入椭圆C方程得：2x^2-2tx+t^2-4=0
设M,A,B坐标分别为(x,y),(x1,y1),(x2,y2)
因为 OM=cosθ*OA+sinθ*OB
所以 x=cosθ*x1+sinθ*x2
y=cosθ*y1+sinθ*y2
因此M点坐标为（cosθ*x1+sinθ*x2,cosθ*y1+sinθ*y2
因为 M 在椭圆C上
所以 (cosθ*x1+sinθ*x2)^2+4*(cosθ*y1+sinθ*y2)^2=4
cos^2θ*x1^2+2cosθsinθ*x1x2+sin^2θ*x2^2+4cos^2θ*y1^2+8sinθcosθy1y2+4sin^2θy2^2=4
cos^2θ*(x1^2+4y1^2)+sin^2θ*(x2^2+4y2^2)+2sinθcosθ(x1x2+4*y1y2)=4
因为 A,B 也在椭圆上
所以 x1^2+4y1^2=x2^2+4y2^2=4
因此上述式子化简得
4cos^2θ+4sin^2θ+2sinθcosθ(x1x2+4*y1y2)=4
2sinθcosθ(x1x2+4*y1y2)=0
因为对任意 θ 都有上述式子成立
所以 x1x2+4*y1y2=0
因为 A.B 在直线L上
y1=(1/2)*x1-(1/2)*t
y2=(1/2)*x2-(1/2)*t
代入 x1x2+4*y1y2=0 得
2*x1x2-(x1+x2)t+t^2=0
由韦达定理
t^2-4-t^2+t^2=0
解得t=正负2
因为 t>0
所以 t=2