如图，已知P是椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆的中心，B是椭圆的上顶点，H是直线x＝−a2c（c是椭圆的半焦距）与x轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，试

Question

如图，已知P是椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆的中心，B是椭圆的上顶点，H是直线x＝−(a2)/(c)（c是椭圆的半焦距）与x轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率的平方的值．

Answer 1

依题意，作图如下：

∵F（c，0）是椭圆的右焦点，PF⊥OF，
∴P（c，(b2)/(a)），
∴直线OP的斜率k=((b2)/(a)−0)/(c−0)=(b2)/(ac)；
又H是直线x＝−(a2)/(c)（c是椭圆的半焦距）与x轴的交点，
∴H（-(a2)/(c)，0），又B（0，b），
∴直线HB的斜率k′=(b)/((a2)/(c))=(bc)/(a2)；
∵HB∥OP，
∴(b2)/(ac)=(bc)/(a2)，
∴c²=ab，又b²=a²-c²，
∴c⁴=a²b²=a²（a²-c²），
∴e⁴+e²-1=0，
∴e²=(√(5)−1)/(2)．