《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中

Question

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作
EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．

（1）证明：平面PBD⊥平面DEF．试判断四面体F-DBE是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（2）若平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为60°，求(DA)/(AB)的值．

Answer 1

（1）证明：∵侧棱PD⊥底面ABCD，BC⊥DC，
∴BC⊥平面PCD，DE⊂平面PCD．
∴BC⊥DE．
∵PD=CD，E为棱PC的中点，∴DE⊥PC．
又PC∩DC=C，∴DE⊥平面PBC．
∴DE⊥PB，
又PB⊥EF，DE∩EF=E，
∴PB⊥平面DEF，又PB⊂平面PBD．
∴平面PBD⊥平面DEF．
∴四面体F-DBE是鳖臑，∠DEF=90°，∠DEB=90°，∠BFD=90°，
∠BFE=90°．
（2） 在平面PBC内，延长BC与FE交与点G，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线．
由（1）知PB⊥平面DEF，∴PB⊥DG，
又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DG；而PD∩PB=P，∴DG⊥平面PBD，
故∠BDF是平面DEF与平面ABCD所成二面角的平面角．
设PD=DC=AB=1  DA=BC=x，则BD=√(x2+1)，
在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPF=∠BDF=60°，
则tan60°=tan∠DPF=(BD)/(PD)=√(x2+1)=√(3)，解得x=√(2)，
∴(DA)/(AB)=x=√(2)．