以下条件中（）不是函数f（x）在x0处连续的充分条件．A．limx→x0+0f（x）=limx→x0−0f（x）B．limx→x0f（x）=f（x0）C．f′（x0）存在D．f（x）在x0可微

Question

以下条件中（　　）不是函数f（x）在x₀处连续的充分条件．

A．

lim

x→x0+0

f（x）=

lim

x→x0−0

f（x）
B．

lim

x→x0

f（x）=f（x₀）
C．f′（x₀）存在
D．f（x）在x₀可微

Answer 1

A不能推出f（x）在x₀处连续，反例：
取f(x)＝

x	x≠0
1	x＝0

，
则

lim

x→0

f(x)=

lim

x→0+

f(x)=

lim

x→0−

f(x)=0，
但是

lim

x→0

f(x)≠f(0)，故f（x）在x=0处不连续．
B是f（x）在x₀处连续的充分条件，是f（x）在x₀处连续的定义．
C是f（x）在x₀处连续的充分条件：
因为f′(x0)＝

lim

x→x0

(f(x)−f(x0))/(x−x0)存在，
故

lim

x→x0

(f(x)−f(x0))=f′(x0)•

lim

x→x0

(x−x0)=0，
从而

lim

x→0

f(x)＝f(x0)，
因此，f（x）在x₀处连续．
D是f（x）在x₀处连续的充分条件：
f（x）在x₀处可微⇒f′（x₀）存在⇒f（x）在x₀处连续．
综上，不是f（x）在x₀处连续的充分条件的选项是A．
故选：A．