如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α=34，有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；

Question

如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α= (3)/(4)，有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或 (21)/(4)；④0<BE≤ (25)/(5)，其中正确的结论是___（填入正确结论的序号）

Answer 1

①∵∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAD，
∴△ADE∽△ABD；
故①错误；
②作AG⊥BC于G，
∵∠ADE=∠B=α，tan∠α=(3)/(4)，
∴(AG)/(BG)=(3)/(4)，
∴(BG)/(AB)=(4)/(5)，
∴cosα=(4)/(5)，
∵AB=AC=15，
∴BG=12，
∴BC=24，
∵CD=9，
∴BD=15，
∴AC=BD．
∵∠ADE+∠BDE=∠C+∠DAC，∠ADE=∠C=α，
∴∠EDB=∠DAC，
在△ACD与△DBE中，

∠DAC=∠EDB

∠B=∠C

AC=BD

，
∴△ACD≌△BDE（ASA）．
故②正确；
③当∠BED=90°时，由①可知：△ADE∽△ABD，
∴∠ADB=∠AED，
∵∠BED=90°，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且tan∠α=(3)/(4)，AB=15，
∴(BD)/(AB)=(4)/(5)
∴BD=12．
当∠BDE=90°时，易证△BDE∽△CAD，
∵∠BDE=90°，
∴∠CAD=90°，
∵∠C=α且cosα=(4)/(5)，AC=15，
∴cosC=(AC)/(CD)=(4)/(5)，
∴CD=(75)/(4)．
∵BC=24，
∴BD=24-(75)/(4)=(21)/(4)
即当△DCE为直角三角形时，BD=12或(21)/(4)．
故③正确；
④易证得△BDE∽△CAD，由②可知BC=24，
设CD=y，BE=x，
∴(AC)/(BD)=(DC)/(BE)，
∴(15)/(24-y)=(y)/(x)，
整理得：y²-24y+144=144-15x，
即（y-12）²=144-15x，
∴0<x≤(48)/(5)，
∴0<BE≤(48)/(5)．
故④错误．
故正确的结论为：②③．
故答案为：②③．