如图，四边形ABCD位于平面直角坐标系的第一象限，B、C在x轴上，A点函数y＝2x上，且AB∥CD∥y轴，AD∥x轴，B（1，0）、C（3，0）．（1）试判断四边形ABCD的形状；（2）若点P是线段BD上一点PE⊥B

Question

如图，四边形ABCD位于平面直角坐标系的第一象限，B、C在x轴上，A点函数y＝(2)/(x)上，且AB∥CD∥y轴，AD∥x轴，B（1，0）、C（3，0）．
（1）试判断四边形ABCD的形状；

（2）若点P是线段BD上一点PE⊥BC于E，M是PD的中点，连EM、AM．求证：AM=EM；

（3）在图（2）中，连接AE交BD于N，则下列两个结论：
①(BN+DM)/(MN)值不变；
②(BN2+DM2)/(MN2)的值不变．其中有且仅有一个是正确的，请选择正确的结论证明并求其值．

Answer 1

（1）∵AB∥CD∥y轴，AD∥x轴，
∴四边形ABCD为矩形，
当x=1时，y=AB=2，
∴AB=2，
∵BC=2，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形．

（2）证明：延长EM交CD的延长线于G，连AE、AG，
∵PE∥GC∴∠PEM=∠DGM，
又∵∠PME=∠GMD，PM=DM，
∴△PME≌△DMG，
∴EM=MG，PE=GD，
∵PE=BE，
∴BE=GD，
在Rt△ABE与Rt△ADG中，
AB=AD，BE=GD，∠ABE=∠ADG=90°，
∴Rt△ABE≌Rt△ADG，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∴∠GAE=90°，
∴AM=(1)/(2)EG=EM．

（3）(BN2+DM2)/(MN2)的值不变，值为1．理由如下：
在图2的AG上截取AH=AN，连DH、MH，

∵AB=AD，AN=AH，
由（2）知∠BAN=∠DAH，
∴△ABN≌△ADH，
∴BN=DH，∠ADH=∠ABN=45°，
∴∠HDM=90°，
∴HM²=HD²+MD²，
由（2）知∠NAM=∠HAM=45°，
又AN=AH，AM=AM，
∴△AMN≌△AMH，
∴MN=MH，
∴MN²=DM²+BN²，
即(BN2+DM2)/(MN2)=1．