如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2+4mx-5m（m<0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），该抛物线的对称轴与直线y=33x相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线y=33x上（不与原点重合），连

Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx²+4mx-5m（m<0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），该抛物线的对称轴与直线y=(√(3))/(3)x相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线y=(√(3))/(3)x上（不与原点重合），连接PD，过点P作PF⊥PD交y轴于点F，连接DF．
（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为6√(3)，求抛物线的解析式；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）如图②所示，小红在探究点P的位置发现：当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线y=(√(3))/(3)x上任意一点P（不与原点重合），∠PDF的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．

Answer 1

（1）∵y=mx²+4mx-5m，
∴y=m（x²+4x-5）=m（x+5）（x-1）．
令y=0得：m（x+5）（x-1）=0，
∵m≠0，
∴x=-5或x=1．
∴A（-5，0）、B（1，0）．
∴抛物线的对称轴为x=-2．
∵抛物线的顶点坐标为为6√(3)，
∴-9m=6√(3)．
∴m=-(2√(3))/(3)．
∴抛物线的解析式为y=-(2√(3))/(3)x²-(8√(3))/(3)x+(10√(3))/(3)．
（2）由（1）可知：A（-5，0）、B（1，0）．
（3）如图所示：
∵OP的解析式为y=(√(3))/(3)x，
∴∠AOP=30°．
∴∠PBF=60°
∵PD⊥PF，FO⊥OD，
∴∠DPF=∠FOD=90°．
∴∠DPF+∠FOD=180°．
∴点O、D、P、F共圆．
∴∠PDF=∠PBF．
∴∠PDF=60°．