以x为自变量的二次函数y=-x2+2x+m，它的图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B，点A在点B的左边，点O为坐标原点，（1）求这个二次函数的解析式及点A，点B的坐标，画出二次函数的图象

Question

以x为自变量的二次函数y=-x²+2x+m，它的图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B，点A在点B的左边，点O为坐标原点，
（1）求这个二次函数的解析式及点A，点B的坐标，画出二次函数的图象；
（2）在x轴上是否存在点Q，在位于x轴上方部分的抛物线上是否存在点P，使得以A，P，Q三点为顶点的三角形与△AOC相似（不包含全等）？若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）根据题意，把点C（0，3）代入y=-x²+2x+m，
解得m=3，
即二次根式的解析式为y=-x²+2x+3，
即-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴点A，点B的坐标分别是（-1，0），（3，0）．

（2）假设存在符合题意的点P、Q，一定是∠PAQ=∠ACO；
∵若PAQ=∠CAO，则点P与点C重合，
点Q与点O重合，
∴△PAQ≌△CAO，不合题意；
∵若∠PAQ=∠COA=90°，显然P不在抛物线上，
过A作AP，使∠PAO=∠ACO且与抛物线交于点P，
①若过点P作PQ₁⊥x轴交x轴于Q₁点，
设Q1（x₁，0），P（x₁，y₁），
∵∠CQ₁A=∠AOC，则△PQ₁A∽△AOC，
∴(AQ1)/(OC)=(Q1P)/(AO)，
即(x1+1)/(3)=-x12+2x1+3，
解得x₁=(8)/(3)，代入抛物线的解析式中，
得y₁=(11)/(9)，
∴Q₁（(8)/(3)，0)，P（(8)/(3)，(11)/(9))，存在△PQ₁A∽△AOC；
②由①所得点P作PQ₂⊥AP交x轴于Q₂，
设Q₂（x₂，0）；
∵∠APQ₂∠COA，则△Q₂PA∽△AOC，
∴(AQ2)/(CA)=(PA)/(OC)，(x2+1)/(√(10))=(√(((8)/(3)+1)2+((11)/(9))2))/(3)，x2=(83)/(27)．
∴Q₂（(83)/(27)，0），存在△PQ₂A∽△AOC；
综上所述，存在符合条件的相似三角形，且Q、P的坐标为：Q₁（(8)/(3)，0)，Q₂（(83)/(27)，0），P（(8)/(3)，(11)/(9))．