已知平面上一定点C（-1，0）和一定直线l：x=-4．P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，(PQ+2PC)(PQ−2PC)＝0．（1）问点P在什么曲线上，并求出该曲线方程；（2）点O是坐标原点，A、B两点在点P

Question

已知平面上一定点C（-1，0）和一定直线l：x=-4．P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，(

PQ

+2

PC

)(

PQ

−2

PC

)＝0．
（1）问点P在什么曲线上，并求出该曲线方程；
（2）点O是坐标原点，A、B两点在点P的轨迹上，若

OA

+λ

OB

＝(1+λ)

OC

，求λ的取值范围．

Answer 1

（1）由(

PQ

+2

PC

)•(

PQ

−2

PC

)＝0，得：

PQ

2−4

PC

2＝0，…（2分）
设P（x，y），则（x+4）²-4[（x+1）²+y²]=0，化简得：(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1，…（4分）
点P在椭圆上，其方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．…（6分）
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

OA

+λ

OB

＝(1+λ)

OC

得：

CA

+λ

CB

＝

0

，
所以，A、B、C三点共线．且λ＞0，
得：（x₁+1，y₁）+λ（x₂+1，y₂）=0，即：

x1＝−1−λ−λx2

y1＝−λy2

…（8分）
因为(x12)/(4)+(y12)/(3)＝1，所以((−1−λ−λx2)2)/(4)+((−λy2)2)/(3)＝1①…（9分）
又因为(x22)/(4)+(y22)/(3)＝1，所以((λx2)2)/(4)+((λy2)2)/(3)＝λ2②…（10分）
由①-②得：(2λ(λ+1)x2+(λ+1)2)/(4)＝1−λ2，化简得：x2＝(3−5λ)/(2λ)，…（12分）
因为-2≤x₂≤2，所以−2≤(3−5λ)/(2λ)≤2．
解得：(1)/(3)≤λ≤3所以λ的取值范围为[(1)/(3)，3]．…（14分）