如图1，已知长方形ABCD，AB=CD，BC=AD，P为长方形ABCD上的动点，动点P从A出发，沿着A-B-C-D运动到D点停止，速度为1cm/s，设点P用的时间为x秒，△APD的面积为ycm2，y和x的关系如图2所示，（1）求当x

Question

如图1，已知长方形ABCD，AB=CD，BC=AD，P为长方形ABCD上的动点，动点P从A出发，沿着A-B-C-D运动到D点停止，速度为1cm/s，设点P用的时间为x秒，△APD的面积为ycm²，y和x的关系如图2所示，
（1）求当x=3和x=9时，点P走过的路程是多少？
（2）求当x=2，对应y的值；并写出0≤x≤3时，y与x之间的关系式；
（3）当y=3时，求x的值；
（4）当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APD的周长最小？若存在，求出此时∠APD的度数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意得：AB=3，AB+BC=9，
∴当x=3时，点P所走的路程为：AB=3，
当x=9时，点P所走的路程为：AB+BC=9，
（2）如图3，当x=3时，点P与B重合，
y=(1)/(2)AB•AD=(1)/(2)×3×6=9，
∴E（3，9），
如图4，当x=2时，AP=2，则y=(1)/(2)AP•AD=(1)/(2)×2×6=6，
如图2，设直线OE的解析式为：y=kx，
把E（3，9）代入得：9=3k，
k=3，
y=3x，
∴当0≤x≤3时，y与x之间的关系式：y=3x；
（3）如图2，当y=3时，3=3x，x=1，
（4）存在，如图5，延长AB至A′，使AB=A′B，连接A′D，交BC于P，连接AP，
此时△APD的周长最小，
∴AA′=AB+BA′=3+3=6，
∴AD=AA′=6，
∴△A′AD是等腰直角三角形，
∴∠A′=45°，
∵∠ABC=90°，
∴BP是AA′的中垂线，
∴AP=PA′，
∴∠A′=∠BAP=45°，
∴∠APD=∠A′+∠BAP=90°．