直线y=-√3x+4√3与x轴相交于点A与直线y=√3x相交于点P动点E从原点O出发每秒1单位的速度沿着OPA向A匀速运动(不与O,A重合)过点E做EF⊥x轴于B设运动t秒时举行EBOF与△OPA重叠部分面积为S直接

Question

直线y=-√3x+4√3与x轴相交于点A 与直线y=√3x相交于点P 动点E从原点O出发 每秒1单位的速度沿着OPA向A匀速运动(不与O,A重合) 过点E做EF⊥x轴于B 设运动t秒时 举行EBOF与△OPA重叠部分面积为S 直接写出S与t的函数解析式

Answer 1

动点E从O到P需要时间为t=OP/1=4
时间的范围为0当P在OP上运动时,即0矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S=三角形OEF的面积
OE=t,OF=OE/2=t/2,EF=(t√3)/2
S=OF*EF/2=(t^2 *√3)/8
当P在PA上运动时,即4矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S=梯形OE1EF的面积(E1为BE与OP的交点)
PE1=E1E=PE=t-4
OE1=OP-PE1=4-(t-4)=8-t
EF=E1F=OE1*(√3)/2=(8-t)*(√3)/2
OF=(OE1)/2 +EE1=(8-t)/2 +(t-4)=t/2
所以S=(EE1 +OF)*EF/2=√3*(32t-64-3t^2)/8=-(√3)/8 *[3(t-16/3)^2 -64/3]
当t=16/3时,S有最大值为8√3)/3