如图1，AB是O的直径，E是AB延长线上一点，EC切O于点C，OP⊥AO交AC于点P，交EC的延长线于点D．（1）求证：△PCD是等腰三角形；（2）CG⊥AB于H点，交O于G点，过B点作BF∥EC，交O于点F，交CG于Q

Question

如图1，AB是 O的直径，E是AB延长线上一点，EC切 O于点C，OP⊥AO交AC于点P，交EC的延长线于点D．
（1）求证：△PCD是等腰三角形；
（2）CG⊥AB于H点，交 O于G点，过B点作BF∥EC，交 O于点F，交CG于Q点，连接AF，如图2，若sinE=(3)/(5)，CQ=5，求AF的值．

Answer 1

（1）连接OC，

∵EC切 O于点C，
∴OC⊥DE，
∴∠1+∠3=90°，
又∵OP⊥OA，
∴∠2+∠4=90°，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
又∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴DP=DC，即△PCD为等腰三角形．
（2）如图2，连接OC、BC，

∵DE与 O相切于点E，
∴∠OCB+∠BCE=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC+∠BCE=90°，
又∵CG⊥AB，
∴∠OBC+∠BCG=90°，
∴∠BCE=∠BCG，
∵BF∥DE，
∴∠BCE=∠QBC，
∴∠BCG=∠QBC，
∴QC=QB=5，
∵BF∥DE，
∴∠ABF=∠E，
∵sinE=(3)/(5)，
∴sin∠ABF=(3)/(5)，
∴QH=3、BH=4，
设 O的半径为r，
∴在△OCH中，r²=8²+（r-4）²，
解得：r=10，
又∵∠AFB=90°，sin∠ABF=(3)/(5)，
∴AF=12．