已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，离心率等于255．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若MA

Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x²=4y的焦点，离心率等于(2√(5))/(5)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若

MA

＝λ1

AF

，

MB

＝λ2

BF

，求证λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

（Ⅰ）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，
它的一个顶点恰好是抛物线x²=4y的焦点，离心率等于(2√(5))/(5)，
∴设椭圆方程为(x2)/(5)+y2＝1，
根据题意得：

b＝1

e＝(c)/(a)＝(2√(5))/(5)

，
解得a²=5，b²=1，所以椭圆C的方程为：(x2)/(5)+y2＝1．
（Ⅱ）证明：椭圆C的右焦点F（2，0），
根据题意可设l：y=k（x-2），则M（0，-2k），
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y＝k(x−2)

(x2)/(5)+y2＝1

得：（5k²+1）x²-20k²x+20k²-5=0，
所以

x1+x2＝(20k2)/(1+5k2)

x1x2＝(20k2−5)/(1+5k2)

，且△＞0，
由

MA

＝λ1

AF

，

MB

＝λ2

BF

，得（x₁，y₁+2k）=λ₁（2-x₁，-y₁），
（x₂，y₂+2k）=λ₂（2-x₂，-y₂），
所以λ1＝(x1)/(2−x1)，λ2＝(x2)/(2−x2)，
所以λ1+λ2＝(2(x1+x2)−2x1x2)/(4−2(x1+x2)+x1x2)＝−10．
故λ₁+λ₂为定值．