如图，在平面直角坐标系中，AB=AC=10，线段BC在x轴上，BC=12，点B的坐标为（-3，0），线段AB交y轴于点E，过A作AD⊥BC于D，动点P从原点出发，以每秒3个单位的速度沿x轴向右运动，设运动的时间

题目详情

如图，在平面直角坐标系中，AB=AC=10，线段BC在x轴上，BC=12，点B的坐标为（-3，0），线段AB交y轴于点E，过A作AD⊥BC于D，动点P从原点出发，以每秒3个单位的速度沿x轴向右运动，设运动的时间为t秒．
（1）当△BPE是等腰三角形时，求t的值；
（2）若点P运动的同时，△ABC以B为位似中心向右放大，且点C向右运动的速度为每秒2个单位，△ABC放大的同时高AD也随之放大，当以EP为直径的圆与动线段AD所在直线相切时，求t的值和此时点C的坐标．
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答案和解析

（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=6，
∵AB=10，
∴AD=8，
∴A（3，8），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，则

-3k+b=0

3k+b=8

，
解得：

b=4

，
∴直线AB的解析式为：y=

x+4，
∴E（0，4），
∴BE=5，
当△BPE是等腰三角形有三种情况：
①当BE=BP时，3+3t=5，解得：t=

；
②当EB=EP时，3t=3，解得：t=1；
③当PB=PE时，
∵PB=PE，AB=AC，∠ABC=∠PBE，
∴∠PEB=∠ACB=∠ABC，
∴△PBE∽△ABC，
∴

，
∴

3+3t

，解得：t=

，
综上：t=

或t=1或t=

；

（2）由题意得：C（9+2t，0），

∴BC=12+2t，BD=CD=6+t，OD=3+t，
设F为EP的中点，连接OF，作FH⊥AD，FG⊥OP，
∵FG∥EO，
∴△PGF∽△POE，
∴PG=OG=

t，FG=

EO=2，∴F（

t，2），
∴FH=GD=OD-OG=3+t-

t=3-

t，
∵ F与动线段AD所在直线相切，FH=

EP=3-

t，
在Rt△EOP中：EP²=OP²+EO²
∴4（3-

t）²=（3t）²+16
解得：t₁=1，t₂=-<