如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12cm，BC=4cm，点E从点C出发沿射线CA以每秒3cm的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以每秒1cm的速度运动．设运动时间为t秒．（1）若0<t<4，试问：t为何值

Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12cm，BC=4cm，点E从点C出发沿射线CA以每秒3cm的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以每秒1cm的速度运动．设运动时间为t秒．

（1）若0<t<4，试问：t为何值时，以E、C、F为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）若∠ACB的平分线CG交△ECF的外接圆于点G．
①试说明：当0<t<4时，CE、CF、CG在运动过程中，满足CE+CF=√(2)CG；
②试探究：当t≥4时，CE、CF、CG的数量关系是否发生变化，并说明理由．

Answer 1

（1）由题意，EC=3t，BF=t，FC=4-t
∵∠ECF=∠ACB，
∴以E、C、F为顶点的三角形与△ACB相似有两种情况：
当(EC)/(AC)=(FC)/(BC)时，△EFC∽△ABC 
∴(3t)/(12)=(4-t)/(4)，解得t=2，
当(EC)/(BC)=(FC)/(AC)时，△FEC∽△ABC
∴(3t)/(4)=(4-t)/(12)，解得t=0.4．
∴当t=2或0.4秒时，以E、C、F为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）①当0<t<4时，
过点G作GH⊥CG交AC于H，如图1：

∵∠ACB=90°，
∴EF为△ECF的外接圆的直径，
∴∠EGF=90°，
∴∠EGH=∠FGC，
∵CG平分∠ACB，
∴∠ECG=∠FCG=45°
∴

EG

=

FG

，
∴EG=FG
∵∠ECG=45°，
∴∠EHG=45°，
∴∠EHG=∠FCG，
在△EGH和△FGC中，

∠EGH=∠FGC

BE=FG

∠CHG=∠GCF

，
∴△EGH≌△FGC．
∴EH=FC
∵∠EHG=∠ECG=45°，
∴CH=√(2)CG
∵CH=CE+EH，
∴CE+CF=√(2)CG；
②当t≥4时，
过点G作GM⊥CG交AC于M，如图2：

同理可得△EGM≌△FGC．
∴EM=FC
∵∠EMG=∠MCG=45°，
∴CM=√(2)CG
∵CM=CE-EM，
∴CE-CF=√(2)CG．