如图（1），等边三角形ABC的边长为8，点P由点B开始沿BC以每秒1个单位长的速度作匀速运动，到点C后停止运动；点Q由点C开始沿C-A-B以每秒2个单位长的速度作匀速运动，到点B后停止运动．若

Question

如图（1），等边三角形ABC的边长为8，点P由点B开始沿BC以每秒1个单位长的速度作匀速运动，到点C后停止运动；点Q由点C开始沿C-A-B以每秒2个单位长的速度作匀速运动，到点B后停止运动．若点P，Q同时开始运动，运动的时间为t（秒）（t＞0）．
（1）当t=4秒时，指出点P，Q的位置．
（2）当点P、Q运动时，求△PCQ的面积S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．
（3）当点Q在CA边上运动时，是否存在某个时刻t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）当点Q在AB边上运动时，是否存在某个时刻t，使得四边形AQPC为等腰梯形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当t=4秒时，PB=4×1=4，CQ=4×2=8，
而等边三角形ABC的边长为8，
所以点P为BC边的中点，点Q运动到点A；
（2）①当点Q在CA上运动时，即0＜t≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，
BP=t，PC=8-t，CQ=2t，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=60°，
在Rt△CDQ中，DC=(1)/(2)CQ=t，
∴QD=√(3)CD=√(3)t，
∴S=(1)/(2)QD•PC=(1)/(2)•√(3)t•（8-t）=-(√(3))/(2)t²+4√(3)t，
即△PCQ的面积S与t的函数关系式为S=-(√(3))/(2)t²+4

作业帮用户 2016-11-20 举报

举报该用户的提问

举报类型（必填）

• 色情低俗

• 辱骂攻击

• 侮辱英烈

• 垃圾广告

• 不良流行文化

• 骗取采纳

• 其他

举报理由（必填）

0/100

提交

问题解析

（1）先根据速度公式计算出当t=4秒时PB和CQ的长，然后根据等边三角形ABC的边长为8判断点P，Q的位置；
（2）分两种情况讨论：当0＜t≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，则BP=t，PC=8-t，CQ=2t，在Rt△CDQ中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到DC=(1)/(2)CQ=t，
QD=√(3)CD=√(3)t，然后根据三角形面积公式得到S=(1)/(2)QD•PC=-(√(3))/(2)t²+4√(3)t；
②当4＜t＜8，作QD⊥BC于D，如图2，则BP=t，PC=8-t，AQ+AC=2t，BQ=16-2t，在Rt△BDQ中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BD=(1)/(2)BQ=8-t，
QD=√(3)BD=√(3)（8-t），然后根据三角形面积公式得到S=(1)/(2)QD•PC=(√(3))/(2)t²-8√(3)t+32√(3)；
（3）分类讨论：当∠PQC=90°时，PC=8-t，CQ=2t，利用含30度的直角三角形三边的关系得到PC=2CQ，则8-t=2•2t，然后解方程求出t；   
当∠CPQ=90°时，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CQ=2PC，则2t=2•（8-t），然后解方程求出t；   
（4）由于当PQ∥AC时，四边形AQPC为梯形，加上∠A=∠C=60°，于是可判断此时四边形AQPC为等腰梯形，得到△BPQ为等边三角形，所以BQ=BP，则16-2t=t，然后解方程求出t的值．

名师点评

本题考点：

四边形综合题．

考点点评：

本题考查了四边形的综合题：熟练掌握等边三角形的性质、等腰梯形的判定定理；会运用含30度的直角三角形三边的关系和三角形面积公式进行几何计算；会运用分类讨论的思想解决数学问题；学会解决有关动点的问题．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议