如图，在等边三角形内任意取一点，该点与三个顶点连线，又从该点向三条边作出垂线，这样图中的三个阴影三角形的面积总和与余下的三个三角形的面积总和相等吗？

Question

如图，在等边三角形内任意取一点，该点与三个顶点连线，又从该点向三条边作出垂线，这样图中的三个阴影三角形的面积总和与余下的三个三角形的面积总和相等吗？

Answer 1

如图△ABC为等边三角形，P为三角形内任意一点，PE，PG，PF分别为各边上的高．
过P点作三边的平行线，分别交三边于IJKLMN六个点．
因为PK∥AC，PI∥AB，
所以△PIK为等边三角形．
又因为PG⊥BC，
所以PG将等边△PIK分为面积相等的两部分，即S△PGI=S△PGK，
同理可得△PJL和△PMN为等边三角形，有S△PEL=S△PEJ，S△PFN=S△PFM；
又因为PI∥AB，PJ∥BC，
所以四边形BIPJ为平行四边形，对角线BP分得面积相等的两部分，即S△PBI=S△PBJ，
同理四边形CNPK和ALPM均为平行四边形，即S△PCN=S△PCK，S△PAL=S△PAM，
图中阴影部分面积：S阴影=S△PBI+S△PGI+S△PCN+S△PFN+S△PAL+S△PEL，
图中空白部分面积：S空白=S△PBJ+S△PGK+S△PFM+S△PAM+S△PEJ，
所以S阴影=S空白．
即：图中的三个阴影三角形的面积总和与余下的三个三角形的面积总和相等．