等腰三角形把一个等边三角形各边中点顺次连结起来,得到一个小等边三角形,再把这个小等边三角形各边中点顺次连结起来,如此进行10次,问:1.共有多少个三角形?2.最小的三角形面积是最大三

Question

等腰三角形
把一个等边三角形各边中点顺次连结起来,得到一个小等边三角形,再把这个小等边三角形各边中点顺次连结起来,如此进行10次,问:
1.共有多少个三角形?
2.最小的三角形面积是最大三角形面积的几分之几?
3.若最大三角形的边长为1024mm,则所有三角形的周长是多少（重复的边长不重复计算）.

Answer 1

（1）每取一次中点时,增加4个正三角形,故取10次中点,则增加了4×10个正三角形,故共有三角形的个数为：40＋1＝41个
（2）每取一次中点时,都把原正三角形平均分成了4份,即：每个小正三角形的面积都为原正三角形面积的1/4.所以：最小的三角形面积是最大三角形面积的1/(4＊10).(4＊10:4的10次方）（相似比的平方）
（3）每取一次中点时,形成的位于正中的正三角形的周长只有原正三角形周长的一半（即相似比为1/2).故所有三角形中每个位于三角形的周长分别为：1024＝2＊10、512＝2＊9、256＝2＊8、128＝2＊7、64＝2＊6、32＝2＊5、16＝2＊4、8＝2＊3、4＝2＊2、2＝2＊1、1
故所有三角形的周长C＝1＋2＊1＋2＊2＋2＊3＋...＋2＊10
2C=2＊1＋2＊2＋2＊3＋...＋2＊10＋2＊11
所以：C＝2C－C＝（2＊1＋2＊2＋2＊3＋...＋2＊10＋2＊11）－（1＋2＊1＋2＊2＋2＊3＋...＋2＊10）＝（2＊11－1）mm