设f（t）=∬D|xy-t|dxdy，t∈[0，1]，其中D={（x，y）|0≤x，y≤1}．（1）求f（t）的初等函数表达式；（2）证明：存在t0∈[0，1]，使得f（t0）是f（t）在（0，1）内唯一的最小点．

Question

设f（t）=

∬

D

|xy-t|dxdy，t∈[0，1]，其中D={（x，y）|0≤x，y≤1}．
（1）求f（t）的初等函数表达式；
（2）证明：存在t₀∈[0，1]，使得f（t₀）是f（t）在（0，1）内唯一的最小点．

Answer 1

（1）令D₁=D∩{（x，y）|xy≥t}，D₂=D∩{（x，y）|xy≤t}，
则f(t)＝

∫∫

D

|xy−t|dxdy＝

∫∫

D1

(xy−t)dxdy−

∫∫

D2

(xy−t)dxdy
=2

∫∫

D1

(xy−t)dxdy−

∫∫

D

(xy−t)dxdy
=2

∫

1 t

dx

∫

1 (t)/(x)

(xy−t)dy−

∫∫

D

xydxdy+t

∫∫

D

dxdy
=(1)/(4)−t+t2((3)/(2)−lnt)．
（2）由（1）f(t)＝(1)/(4)−t+t2((3)/(2)−lnt)得
f(0+0)＝(1)/(4)，f(1)＝(3)/(4)，且
f'（t）=-1+2t（1-lnt），
f''（t）=-2lnt≥0，t∈（0，1）．
f'（0+0）=-1，f'（1）=1．
因为f''（t）=-2lnt≥0，t∈（0，1），所以f'（t）单调增加．
又因为f'（0+0）=-1，f'（1）=1，所以存在唯一的t₀∈（0，1），使得f'（t₀）=0．
当t∈（0，t₀）时，f'（t）＜0；当t∈（t₀，1）时，f'（t）＞0，
所以t₀∈（0，1）为f（t）在[0，1]上唯一的最小点．