已知定义域为R的函数f(x)满足1、f(x)+f(x+2)=2x的平方-4x+22、f(x+1)-f(t-1),-1/2,f(t)成等差数列,则t的值为

Question

已知定义域为R的函数f(x)满足 1、 f(x)+f(x+2)=2x的平方-4x+2 2、f(x+1)-f(t-1),-1/2,f(t)成等差数列,则t的值为

Answer 1

令f(x)＝ax^2+bx+c,
则f(x+2)=a（x+2）^2+b（x+2）+c＝ax^2+（4a+b）x+（4a+2b+c）
所以f(x)+f(x+2)=ax^2+bx+c+ax^2+（4a+b）x+（4a+2b+c）＝2ax^2+（4a+2b）x+（4a+2b+2c）＝2x^2-4x+2
对应项系数相等
解得a＝1,b＝－4,c＝3
所以f(x)＝x^2－4x+3；f(t+1）＝t^2-2t;f(t-1)=t^2-6t+8;
因为f(t+1)-f(t-1),-1/2,f(t)成等差数列
所以f(t+1)-f(t-1)+f(t)＝－1
即t^2-2t－（t^2-6t+8）+t^2－4t+3＝－1
整理得t^2－4＝0
所以t＝2或－2
题目中第2条f(x+1)-f(t-1),-1/2,f(t)成等差数列应该是f(t+1）而不是f(x+1）吧