（2014•宜宾）如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）若CF=5，cos∠A=25，求BE的长．

Question

（2014•宜宾）如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若CF=5，cos∠A=(2)/(5)，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连结OD．
∵CD=DB，CO=OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AB，AB=2OD，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，即OD⊥EF，
∴直线EF是⊙O的切线；

（2）∵OD∥AB，
∴∠COD=∠A．
在Rt△DOF中，∵∠ODF=90°，
∴cos∠FOD=(OD)/(OF)=(2)/(5)，
设⊙O的半径为R，则(R)/(R+5)=(2)/(5)，
解得R=(10)/(3)，
∴AB=2OD=(20)/(3)．
在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，
∴cos∠A=(AE)/(AF)=(AE)/(5+(20)/(3))=(2)/(5)，
∴AE=(14)/(3)，
∴BE=AB-AE=(20)/(3)-(14)/(3)=2．