如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过O作OE∥AB，交BC于E．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径为32，ED=2，求AB的长；（3）在（2）的条件下，延长EO交⊙O于F，

Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过O作OE∥AB，交BC于E．

（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）如果⊙O的半径为(3)/(2)，ED=2，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，延长EO交⊙O于F，连接DF、AF，求△ADF的面积．

Answer 1

（1）连接OD；
∵OE∥AB，
∴∠EOC=∠A，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠A，
∵∠EOC+∠DOE=∠DOC=∠ODA+∠A=2∠A，
∴∠DOE=∠A，
∴∠EOC=∠DOE，
在△OCE和△ODE中，

OC＝OD

∠EOC＝∠DOE

OE＝OE

∴△OCE≌△ODE（SAS），
∴∠C=∠ODE=90°，
∴ED是⊙O的切线；
（2）∵OE∥AB，CO=OA，
∴CE=EB；
∴OE是△ABC的中位线；
∴AB=2OE；
在Rt△ODE中，
∵∠ODE=90°，OD=(3)/(2)，DE=2，
∴OE=(5)/(2)；
∴AB=5．
（3）设EF与CD交于点G，DG是Rt△ODE斜边OE上的高；
∴DG=(OD•DE)/(OE)=(6)/(5)；
∴CD=2DG=(12)/(5)；
Rt△ACD中，∠ADO=90°，AC=3，CD=(12)/(5)，
∴AD=(9)/(5)；
∴S_△ADF=S_△ADG=(1)/(2)AD×DG=(27)/(25)．