在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5（I）探究新知：如图①，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G..（1）求证内切圆的半径r1=1（2）求tan∠OAG的值（II）结论应用：（1）如

Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5
（I）探究新知：
如图①，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G..
（1）求证内切圆的半径r ₁ =1
（2）求tan∠OAG的值
（II）结论应用：
（1）如图②若半径为r ₂ 的两个等圆⊙O ₁ 、⊙O ₂ 外切，且⊙O ₁ 与AC、AB相切，⊙O ₂ 与BC、AB相切，求r ₂ 的值；
（2）如图③若半径为r _n 的n个等圆⊙O ₁ 、⊙O ₂ 、…、⊙O _n 依次外切，且⊙O ₁ 与AC、AB相切，⊙O _n 与BC、AB相切，⊙O ₁ 、⊙O ₂ 、…、⊙O _n 均与AB相切，求r _n 的值

Answer 1

（Ⅰ）
（1）证明：在图①中，连结OE,OF,OA
∵四边形CEOF是正方形，CE=CF=r ₁
又∵AG=AE=3-r ₁ ，BG=BF=4-r ₁ ，AG+BG=5，
∴（3-r ₁ ）+（4-r ₁ ）=5
即r=1。
（2） 连结OG，在Rt△AOG中，
∵r ₁ =1， AG= 3-r ₁ =2，tan∠OAG= =

（Ⅱ）
（1）连结O ₁ A、O ₂ B，作O ₁ D⊥AB交于点D、O ₂ E⊥AB交于点E，AO ₁ 、BO ₂ 分别平分∠CAB、∠ABC
由tan∠OAG= ，知tan∠O ₁ AD= ，
同理可得：tan∠O ₂ BE= =
∴AD=2r ₂ ，DE=2r ₂ ，BE=3r ₂
∵AD+DE+BE=5，r ₂ = 。
（2）如图③，连结O ₁ A、O _n B，作O ₁ D⊥AB交于点D、O ₂ E⊥AB交 于点E、…、O _n M⊥AB交于点M
则AO ₁ 、BO ₂ 分别平分∠CAB、∠ABC
tan∠O ₁ AD= ，tan∠O _n BM= ,AD=2r _n ，DE=2r _n ，…,MB=3r _n ，
又∵AD+DE+…+MB=5，2r _n +2r _n +…+3r _n =5,(2n+3)
r _n =5
r= 。