已知a,b,c是不全相等的实数,且abc不等0,a^3+b^3+c^3=3abc试求a+b+c的值2）a(1/b+1/c）+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)的值要思路,

Question

已知a,b,c 是不全相等的实数,且abc不等0,a^3 + b^3 + c^3 =3abc
试求 a+ b+c 的值
2） a (1/b + 1/c ）+ b( 1/c + 1/a ) + c ( 1/a + 1/b) 的值
要思路,

Answer 1

(1) a+b+c=0
(2) a (1/b + 1/c ）+ b( 1/c + 1/a ) + c ( 1/a + 1/b)=-1
由于
(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3ba^2+3ca^2+3ab^2+3ac^2+3cb^2+3bc^2+6abc
=3ba^2+3ca^2+3ab^2+3ac^2+3cb^2+3bc^2+9abc
=3(a+b+c)(ab+ac+bc)
所以
a+b+c=0或(a+b+c)^2=3(ab+ac+bc)
又因为,由(a+b+c)^2=ab+ac+bc得
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3(ab+ac+bc)
从而
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
即a=b=c
这与已知a,b,c 是不全相等的实数相矛盾.
所以a+b+c=0
（2）a (1/b + 1/c ）+ b( 1/c + 1/a ) + c ( 1/a + 1/b)=-a^2/bc-b^2/ac-c^2/ab=-(a^3+b^3+c^3)/abc
=-abc/abc=-1