对一切实数t，函数f（x）是连续正值函数，且可导，又函数g（x）=∫a−amax2（x，t）•f（t）dt，x∈（-a，a）（Ⅰ）求使g（x）取得极小值的x值；（Ⅱ）将g（x）的极小值作为a的函数，使

Question

对一切实数t，函数f（x）是连续正值函数，且可导，又函数g（x）=

∫

a   −a

max²（x，t）•f（t）dt，x∈（-a，a）
（Ⅰ）求使g（x）取得极小值的x值；
（Ⅱ）将g（x）的极小值作为a的函数，使其等于f（a）-1，并求f（x）．

Answer 1

(I)g(x)＝

∫

x   −a

x2f(t)dt+

∫

a   x

t2f(t)dt，x＝0，g(0)＝

∫

a   0

t2f(t)dt；(II)f(x)＝e(1)/(3)x3．
因为
g（x）=

∫

a −a

max2(x，t)•f(t)dt
=

∫

x −a

x2f(t)dt+

∫

a x

t2f(t)dt
=x2

∫

x −a

f(t)dt-

∫

x a

t2f(t)dt，
所以
g′（x）=2x

∫

x −a

f(t)dt+x²f（x）-x²f（x）
=2x

∫

x −a

f(t)dt．
令g′（x）=0 可得，x=0．
因为g″（x）=2

∫

x −a

f(t)dt+2xf（x），
又因为f（x）为正值函数，故
g″（0）=2

∫

0 −a

f(t)dt＞0，
从而x=0为g（x）的极小值点，
即：使g（x）取得极小值的x值为0．
（II）因为g（x）的极小值为：
g（0）=

∫

a −a

max2(0，t)f(t)dt 
=

∫

a 0

t2f(t)dt，
故由g（0）=f（a）-1可得，

∫

a 0

t2f(t)dt=f（a）-1．①
对a求导可得：
a²f（a）=f′（a），
即(f′(a))/(f(a))＝a2，
即：（ln|f（a）|）′=a²，
从而，ln|f（a）|=(1)/(3)a3+C，
故f（a）=Ce(1)/(3)a3．
由①可得，f（0）-1=0，即f（0）=1，
故 f（a）=e(1)/(3)a3．
从而f（x）的表达式为：
f（x）=e(1)/(3)x3．