一道椭圆题目过椭圆x^2/4a^2+y^2/a^2=1(a>0)的焦点F作一直线交椭圆于P,Q两点,若线段PF,FQ的长分别为p,q,则1/p+1/q=?

Question

一道椭圆题目
过椭圆x^2/4a^2 +y^2/a^2=1(a>0)的焦点F作一直线交椭圆于P,Q两点,若线段PF,FQ的长分别为p,q,则1/p+1/q=?

Answer 1

当F为左焦点时（以下a为长半长轴）
p=a+ex1
q=a+ex2
原式＝(2a+e(x1+x2))/(a^2+(x1+x2)c+x1x2e^2)
设直线斜率为k,则：
直线方程为y=k(x-c),与椭圆x^2/4a^2 +y^2/a^2=1(a>0)联立,得：
（4k^2+1)x^2-(8(k^2)*c)x+4((k^2)(c^2)-b^2)=0
(以下A为题目中的a)
x1+x2=(8k^2-c)/(4k^2+1)=(8k^2-根号5A)/(4k^2+1)
x1x2=4(((k^2)(c^2)-b^2)/（4k^2+1)=(20(k^2)(A^2)-4A^2)/(4k^2+1)
带入原式得：
）