如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1cm/秒，Q点的运动速度是2cm/秒，连接A，P并过Q作QE⊥AP垂足为E．（1）求证：△ABP∽△QEA；（2）当运动时

Question

如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1cm/秒，Q点的运动速度是2cm/秒，连接A，P并过Q作QE⊥AP垂足为E．

（1）求证：△ABP∽△QEA；
（2）当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；
（3）设△QEA的面积为y，用运动时刻t表示△QEA的面积y（不要求考t的取值范围）．（提示：解答（2）（3）时可不分先后）

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形；
∴∠BAP+∠QAE=∠B=90°，
∵QE⊥AP；
∴∠QAE+∠EQA=∠AEQ=90°
∴∠BAP=∠EQA，∠B=∠AEQ；
∴△ABP∽△QEA（AA） 
（2）∵△ABP≌△QEA；
∴AP=AQ（全等三角形的对应边相等）；
在RT△ABP与RT△QEA中根据勾股定理得AP²=3²+t²，AQ²=（2t）²
即3²+t²=（2t）²
解得t₁=√(3)，t₂=-√(3)（不符合题意，舍去）
答：当t取√(3)时△ABP与△QEA全等．
（3）由（1）知△ABP∽△QEA；
∴(y)/(S△ABP)=（(AQ)/(AP)）²
∴(y)/((1)/(2)×3t)=（(2t)/(√(32+t2))）²
整理得：y=(3t3)/(9+t2)．