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平面上给出4点,其中任意3点不共线,这4点组成4个三角形.请判断：这4个三角形中最多有几个锐角三角形?证明你的结论.
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平面上给出4点,其中任意3点不共线,这4点组成4个三角形.请判断：这4个三角形中最多有几个锐角三角形?证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
假定四个三角形中面积最大的一个是三角形ABC,且这个三角形是一个锐角三角形.则第四点D根据题设,只可能在三角形ABC之外或之内.
若D在三角形ABC之内,则题设中四个三角形最多有两个锐角三角形.因为除锐角三角形ABC之外,角ADC,ADB和BDC不可能全部小于90度,因为这三个角的和为360度.但是可以有一个角小于90度（另两个的角大于270度,这是可能的）.
若D在三角形ABC之外,则在A,B,C三点中至少有一点,使得该点与D点在过另外两点的直线的两侧（否则要么D在三角形ABC之内,要么三角形ABC不是面积最大的三角形）.不失一般性,设B和D在直线AC的两侧,则ADCB构成一个凸四边形,其内角和为360度.因而角ABC,ADC,BAD,BCD四个角中至少有一个不是锐角,否则四个角的内角和少于360度.但可以有三个是锐角,而四个角是钝角.即题设中的四个三角形最多有三个锐角三角形.
所以,这四个三角形中最多有三个锐角三角形.
若D在三角形ABC之内,则题设中四个三角形最多有两个锐角三角形.因为除锐角三角形ABC之外,角ADC,ADB和BDC不可能全部小于90度,因为这三个角的和为360度.但是可以有一个角小于90度（另两个的角大于270度,这是可能的）.
若D在三角形ABC之外,则在A,B,C三点中至少有一点,使得该点与D点在过另外两点的直线的两侧（否则要么D在三角形ABC之内,要么三角形ABC不是面积最大的三角形）.不失一般性,设B和D在直线AC的两侧,则ADCB构成一个凸四边形,其内角和为360度.因而角ABC,ADC,BAD,BCD四个角中至少有一个不是锐角,否则四个角的内角和少于360度.但可以有三个是锐角,而四个角是钝角.即题设中的四个三角形最多有三个锐角三角形.
所以,这四个三角形中最多有三个锐角三角形.
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