如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，点A在x轴负半轴上，点B、C分别在x轴、y轴正半轴上，且OB=2OA，OB-OC=OC-OA=2．（1）求点C的坐标；（2）点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB向点B

Question

如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，点A在x轴负半轴上，点B、C分别在x轴、y轴正半轴上，且OB=2OA，OB-OC=OC-OA=2．

（1）求点C的坐标；
（2）点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位的速度沿BA向终点A匀速运动，当点Q到达终点A时，点P、Q均停止运动，设点P运动的时间为t（t>0）秒，线段PQ的长度为y，用含t的式子表示y，并写出相应的t的范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线PM，PM=PQ，是否存在t值使点O为PQ中点？若存在求t值并求出此时三角形CMQ的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵点A在x轴负半轴上，点B、C分别在x轴、y轴正半轴上，OB=2OA，OB-OC=OC-OA=2．
设A（x，0），
∴OA=-x，OB=-2x，OC=-2x-2，
∴B（-2x，0），C（0，-2x-2），
∵OC-OA=2，
∴-2x-2-（-x）=2，
解得：x=-4，
∴OA=4，OB=8，OC=6，点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，6）；
（2）由（1）知：AB=OA+OB=12，
∵点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位的速度沿BA向终点A匀速运动，
∴点P运动的时间为t（t>0）秒时，AP=t，BQ=3t，
当P、Q两点相遇时的t的值为：12÷（1+3）=3秒，
∵当点Q到达终点A时，点P、Q均停止运动，
∴t的最大值为12÷3=4秒
①当0
PQ=AB-AP-QB=12-t-3t=12-4t，
即y=12-4t（0②当3
PQ=AP+BQ-AB=4t-12，
即y=4t-12（3（3）存在t值使点O为PQ中点，
∵点O为PQ中点，
∴0∴4-t=8-3t，
解得：t=2，
当t=2时，AP=2，OP=2，OQ=2，PQ=4，PM=PQ=4，
①点M在x轴上方时，如图3，

过点C作CN⊥PM，得：四边形CNPQ是梯形，
∵S_△CMQ=S_梯形CNPQ-S_△CNM-S_△PQM，
∴S_△CMQ=(1)/(2)（CN+PQ）×PN-(1)/(2)CN•MN-(1)/(2)•PM•PQ
=(1)/(2)×（OP+PQ）×OC-(1)/(2)×OP×（OC-PM）-(1)/(2)×4×4
=(1)/(2)×（2+4）×6-(1)/(2)×2×（6-4）-8
=18-2-8
=8；
②点M在x轴下方，如图4．

过点C作CN⊥PM，得：四边形CNPQ是梯形，
∵S_△CMQ=S_梯形CNPQ+S_△PQM-S_△CNM，
∴S_△CMQ=(1)/(2)（CN+PQ）•PN+(1)/(2)•PQ•PM-(1)/(2)•MN•CN
=(1)/(2)×（OP+PQ）×OC+(1)/(2)×4×4-(1)/(2)•（OC+PM）•OP
=(1)/(2)×（2+4）×6+8-(1)/(2)×（6+4）×2
=(1)/(2)×6×6+8-(1)/(2)×10×2
=18+8-10
=16．
∴三角形CMQ的面积为：8或16．