已知函数f（x）=ax3-bx2+cx+b-a（a>0，b，c∈R）（1）设c=0①若a=b，f（x）在x=x0处的切线过点（1，0），求x0的值；②若a>b，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．（2）设f（x）在x=x1，x=x2两处取得

Question

已知函数f（x）=ax³-bx²+cx+b-a（a>0，b，c∈R）
（1）设c=0
①若a=b，f（x）在x=x₀处的切线过点（1，0），求x₀的值；
②若a>b，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．
（2）设f（x）在x=x₁，x=x₂两处取得极值，求证：f（x₁）=x₁，f（x₂）=x₂不同时成立．

Answer 1

（1） ①若a=b，c=0，则f（x）=a（x³-x²），f′（x）=a（3x²-2x），
f（x）在x=x₀处的切线斜率为k=a（3x₀²-2x₀），
则切线方程为y-a（x₀³-x₀²）=a（3x₀²-2x₀）（x₀-1），
又切线过点（1，0），则a（3x₀²-2x₀）（x₀-1）=a（x₀³-x₀²），
解得x₀=0或1；
②若a>b，c=0，则f′（x）=3ax²-2bx=3ax（x-(2b)/(3a)），
可得x=0或x=(2b)/(3a)<1，
若b≤0，则f′（x）≥0，f（x）为（0，1]上的增函数，f（x）的最大值为：f（1）=0，
若b>0，在（0，(2b)/(3a)）上f′（x）<0，f（x）递减；
在（(2b)/(3a)，1）上f′（x）>0，f（x）递增．
f（0）=b-a<0，f（1）=0，
则有f（x）的最大值为f（1）=0．
综上可得，f（x）在区间[0，1]上的最大值为0；
（2）证明：假设存在a，b，使得f（x₁）=x₁，f（x₂）=x₂同时成立．
设x₁<x₂，则f（x₁）<f（x₂），
由f（x）在x=x₁，x=x₂两处取得极值，
则f′（x）=3ax²-2bx+c=3a（x-x₁）（x-x₂）（a>0），
由x₁<x<x₂，f′（x）<0，f（x）为（x₁，x₂）内的减函数，
则有f（x₁）>f（x₂），
这与f（x₁）<f（x₂）矛盾．
故f（x₁）=x₁，f（x₂）=x₂不同时成立．