如图①，点A（m，0）是x轴的上一点，且|n|+m−1=0．以OA为一边，在第四象限内作等边△OAB．C是x轴负半轴上的一动点，连接CB，在CB的上方作等边△DCB，直线DA交y轴于E点．（1）求线段OA的长；

Question

如图①，点A（m，0）是x轴的上一点，且|n|+√(m−1)=0．以OA为一边，在第四象限内作等边△OAB．C是x轴负半轴上的一动点，连接CB，在CB的上方作等边△DCB，直线DA交y轴于E点．
（1）求线段OA的长；
（2）当C点在y轴的负半轴上运动时，线段AE的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请证明你的结论并求出AE的长．

（3）如图②，F是点A关于y轴的对称点，作直线FE．P是直线FE上的E点上方一动点，连接PA，在PA的左侧作等边△PAT，I是∠APT与∠PAT的角平分线的交点．当点P运动时，点I是否总在y轴上运动？请判断并证明你的结论．

Answer 1

（1）∵|n|+√(m−1)=0，
又|n|＞0，√(m−1)≥0，
∴m-1=0，
∴m=1，
∴A（1，0），
∴OA=1；
（2）答：AE的长度不变．
证明：∵△OAB是等边三角形，
∴BO=BA，∠OBA=60°，
又∵△BCD是等边三角形，
∴BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠OBA=∠CBD=60°，
∴∠OBA-∠OBD=∠CBD-∠OBD，
∴∠ABD=∠OBC，
在△ABD和△OBC中，

AB＝OB

∠ABD＝∠OBC

BD＝BC

，
可得△ABD≌△OBC（SAS），
∴∠ADB=∠OCB，又∠AFD=∠BFC，
可得∠DAO=∠DBC=60°，
∵EO⊥OA，即∠AOE=90°，
∴∠AEO=30°，
可得AE=2OA=2，
即当C点在y轴负半轴上运动时，AE的长度不变；
（3）答：点I总在y轴上运动．
证明：连接IA，IP，过I点作IM⊥AE，IN⊥FE，M，N分别为垂足．
易得△EFA为等边三角形，
∴∠MEN=∠FEA=60°，
∴∠MIN=120°
又∵IA，IP分别是∠TAP与∠TPA的角平分线，
可得∠AIP=120°，IA=IP
∴∠MIA=∠NIP
∴△MIA≌△NIP
∴IM=IN
∴点I在∠MEN的平分线上，
∵根据对顶角相等，∠MEI=∠OEA=∠NEI=∠OEF=30°，则y轴是∠MEN的平分线所在的直线
∴当点P运动时，点I总在y轴上运动．