设y=（ax+b）\(cx+d),a,b,c,d都是有理数,x是无理数,求证：1.当bc=ad时,y是有理数2.当bc≠ad时,y是无理数.

Question

设y=（ax+b）\(cx+d),a,b,c,d都是有理数,x是无理数,求证：1.当bc=ad时,y是有理数
2.当bc≠ad时,y是无理数.

Answer 1

证明：要使 y=(ax+b) /(cx+d)有意义,
则 cx+d不等于0.
即 c,d不能同时为0.
(1) 当 bc=ad 时.
i) 若 c=0,则d不等于0.
所以 a=0.
所以 y= b/d.
即 y是有理数.
ii) 若 c不等于0,则
b= ad/c.
所以 y=(ax +ad/c) /(cx+d)
=(acx +ad) / [ c(cx+d) ]
=[ a(cx+d) ] /[ c(cx+d) ]
=a/c.
即 y是有理数.
综上,当 bc=ad 时,y是有理数.
(2)当 bc不等于ad时.
假设y是有理数.
因为 y (cx+d) = ax+b,
所以 (cy-a) x = b-dy.
又因为 cy-a,b-dy是有理数,x是无理数,
所以 cy -a =b -dy =0.
所以 cdy -ad =0,
bc -cdy =0.
即 bc=ad=cdy ,与 bc不等于ad矛盾.
所以 假设不成立.
所以 y是无理数.
= = = = = = = = =
说明：
(1) 当 bc=ad=0 时,只需讨论c=0 和c不等于0就行了.
注意 c,d不能同时为0.
(2)证明 y是无理数,可用反证法.
(3)非零有理数 *无理数 =无理数.
0 *无理数 =0.
(4)利用bc=ad=cdy,不用讨论a,b,c,d 是否为0.