当a,b,c＞0时,a+b+c=3√abc?为什么

Question

当a,b,c＞0时,a+b+c=3√abc?为什么

Answer 1

应该是3次根号下.
这个是三个数的均值不等式
证明如下:
先证明a³+b³+c³≥3abc (a,b,c>0)
∵ a³+b³+c³-3abc
=[( a+b)³-3a²b-3ab²]+c³-3abc
=[(a+b)³+c³]-(3a²b+3ab²+3abc)
=(a+b+c)[(a+b)²-(a+b)c+c²]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a²+b²+2ab-ac-bc+c²)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)
=(1/2)(a+b+c)[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]
≥0
∴ a³+b³+c³≥3abc (a,b,c>0)
将 a³,b³,c³换成a,b,c
即得 a+b+c ≥ 3 ³√abc