如图，在直角坐标平面内，O为原点，抛物线y=ax2+bx经过点A（6，0），且顶点B（m，6）在直线y=2x上．（1）求m的值和抛物线y=ax2+bx的解析式；（2）如在线段OB上有一点C，满足OC=2CB，在x轴上有一

Question

如图，在直角坐标平面内，O为原点，抛物线y=ax²+bx经过点A（6，0），且顶点B（m，6）在直线y=2x上．
（1）求m的值和抛物线y=ax²+bx的解析式；
（2）如在线段OB上有一点C，满足OC=2CB，在x轴上有一点D（10，0），连接DC，且直线DC与y轴交于点E．
①求直线DC的解析式；
②如点M是直线DC上的一个动点，在x轴上方的平面内有另一点N，且以O、E、M、N为顶点的四边形是菱形，请求出点N的坐标．（直接写出结果，不需要过程．）

Answer 1

（1）∵顶点B（m，6）在直线y=2x，
∴m=3，（1分）
∴B（3，6），把AB两点坐标代入抛物线的解析式得，

36a+6b＝0

9a+3b＝6

，解得

a＝−(2)/(3)

b＝4

，
∴抛物线：y=-(2)/(3)x²+4x；（3分）

（2）①如图1，作CH⊥OA，BG⊥OA，
∴CH∥BG，
∴(CH)/(BG)=(OC)/(OB)，
∵OC=2CB，
∴(CH)/(6)=(2)/(3)，CH=4，
∴点C的坐标为（2，4）（2分）
∵D（10，0）根据题意

2k+b＝4

10k+b＝0

，解得：

k＝−(1)/(2)

b＝5

，
∴直线DC解析式y=-(1)/(2)x+5；（2分）

②如图2：∵四边形ENOM是菱形，
∴OS=ES=(1)/(2)OE=(5)/(2)，
∴NK=(5)/(2)，
∵ON∥DE，
∴tan∠NOK=tan∠EDO=(EO)/(OD)＝(MK)/(OK)=(1)/(2)，
∴OK=5，
∴N₁（-5，(5)/(2)），
如图3：∵EM⊥OB，
∴ON=2OC，
∵点C的坐标为（2，4），
∴N₂（4，8）；
③如图4：
∵直线DC解析式y=-(1)/(2)x+5，
∴E（0，5），
设M（x，-(1)/(2)x+5），
∵四边形ENOM是菱形，
∴EM=OE=5，即x²+（-(1)/(2)x）²=25，解得x=2√(5)，
∴M（-2√(5)，5+√(5)），
∴可设N（-2√(5)，y），则|5+√(5)-y|=5，解得y=√(5)或y=10+√(5)（舍去）
∴N₃（-2√(5)，√(5)）．