如图，在平面直角坐标系中，B（0，8），D（10，0），一次函数y=411x+2411的图象过点C（16，n），与x轴交于点A．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）将△AOB绕点O按顺时针方向旋转得△A1O

Question

如图，在平面直角坐标系中，B（0，8），D（10，0），一次函数y=(4)/(11)x+(24)/(11)的图象过点C（16，n），与x轴交于点A．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）将△AOB绕点O按顺时针方向旋转得△A₁OB₁，问：能否使以O、A₁、D、B₁为顶点的四边形是平行四边形？若能，求点A₁的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）当x=16时，n=(4)/(11)×16+(24)/(11)=8，
∴C（16，8），
∵B（0，8），
∴BC=16，BC∥x轴，
当y=0时，0=(4)/(11)x+(24)/(11)，
∴x=-6，
∵D（10，0），
∴BC∥AD，AD=16，∴BC=AD，
∴四边形ABCD为平行四边形；

（2）由（1）知，A（-6，0），B（0，8），
∴OA=6，OB=8，AB=10，
设斜边上的高为h，
∴S_△AOB=(1)/(2)OA•OB=(1)/(2)AB•h，
∴h=(24)/(5)，
由旋转知，OA₁=6，OB₁=8，A₁B₁=10，
当O、A₁、D、B₁为顶点的四边形是平行四边形，
①当OB₁为对角线时，如图1，A₁B₁∥OD，即A₁B₁⊥y轴于H，
∴OH=h=(24)/(5)，
在Rt△A₁OH中，A₁H=(18)/(5)，
∴₁（-(18)/(5)，(24)/(5)），
②当OD为对角线时，∠A₁OB₁=90°，
∴四边形A₁OB₁D是矩形，
∴∠OA₁D=90°，
如图2，过点A₁作A₁M⊥x轴于M，
同①的方法得出A₁M=(24)/(5)，OM=(18)/(5)，∴A₁（(18)/(5)，(24)/(5)），
③当OA₁为对角线时，如图3，A₁B₁∥OD，
∴A₁B₁⊥y轴于N，
同①的方法，ON=(24)/(5)，B₁N=(18)/(5)，
∴A₁（(18)/(5)，-(24)/(5)），
即：点A₁的坐标为（-(18)/(5)，(24)/(5)），（(18)/(5)，(24)/(5)），（(18)/(5)，-(24)/(5)）．